Теоремы об интегрировании функциональных последовательностей и рядов

Если $f_{n}(x) \rightrightarrows_{n \to \infty}^{[a,b]} f(x)$ и $f_{n}(x)$ интегрируема на $[a,b]~~\forall{n \in \mathbb{N}},$ тогда $f(x)~-$ интегрируема на $[a,b]$ и $\int\limits_{a}^{b} f(x) \, dx = \int\limits_{a}^{b} \lim_{n \to \infty} f_{n}(x) \, dx = \lim_{x \to \infty} \int\limits_{a}^{b} f_{n}(x) \, dx$

$|f_{n}(x) - f(x)| < \dfrac{\varepsilon}{4(b-a)}$ $f(x) - \dfrac{\varepsilon}{4(b-a)} < f(x) <f_{n}(x) \dfrac{+\varepsilon}{4(b-a)}$ $\overline{S}(t) \leq \overline{S}(f_{n})+ \dfrac{\varepsilon}{4(b-a)}(b-a)~\textlangle~\underline{S}(f) \geq \underline{S}(f_{n}) - \dfrac{\varepsilon}{4(b-a)}(b-a)$ 1. $$\sum_{k=0}^{n-1} \sup_{x \in [x_{k}, x_{k+1}]} f(x) \leq \sum_{k=0}^{n-1} \sup\left( f_{n}(x) + \dfrac{\varepsilon}{4(b-a)} \right) \Delta x_{k} = \overline{S}(f_{n}) +\sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{\varepsilon}{4(b-a)} \Delta x_{k} {}$$ 2. $$\overline{S}(f) - \underline{S}(f) \leq \overline{S}(f_{n}) - \underline{S}(f_{n}) + \dfrac{\varepsilon}{2} < \varepsilon {}$$ $|\int\limits_{a}^{b} f(x) \, dx - \int\limits_{a}^{b} f_{n}(x) \, dx | < \varepsilon ,$ потому что $f_{n}(x) - \dfrac{\varepsilon}{4(b-a)} < f(x) < f_{n}(x)+ \dfrac{\varepsilon}{4(b-a)},$ по теореме об инт пер. $\int\limits_{a}^{b} f_{n}(x) \, dx - \dfrac{\varepsilon}{4} \leq \int\limits_{a}^{b} f(x) \, dx \leq \int\limits_{a}^{b} f_{n}(x) \, dx + \dfrac{\varepsilon}{4}$ $\lim_{x \to \infty} \int\limits_{a}^{b} f_{n}(x) \, dx = \int\limits_{a}^{b} f(x) \, dx~~~~~~~~~~~~~\square$

$a_{n}(x)~-$ интегрируема на $[a,b]$ $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(x) \rightrightarrows S(x),$ тогда $S(x)~-$ интегрируема на $[a,b]$ $\int\limits_{a}^{b} S(x) \, dx = \int\limits_{a}^{b} \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(x) \, dx = \sum_{n=1}^{\infty} \int\limits_{a}^{b} a_{n}(x)\, dx$